Właściwości “poprawionej” spirali Ulama (część 2)

Wprawne oko na “oryginalnej” spirali Ulama szybko wychwyci linie, na których nie ma liczb pierwszych. Ja jednak chciałbym zwrócić uwagę na kilka z nich – na te, które przechodzą przez 0 na “poprawionej” spirali Ulama.

Co jest wyjątkowego w tych liniach?

Gdy się im bliżej przyjrzeć, to okazuje się, że dzielniki liczb znajdujących się na nich tworzą coś takiego:

Przeanalizujmy “poziomą” linię 0, 1, 10, 27, 52, 85…

0=0*0

1=1*1

10=2*5

27=3*7

52=4*13

85=5*17

Przeanalizujmy “pionową” linię 0, 3, 14, 33, 60, 95…

0=0*0

3=1*3

14=2*7

33=3*11

60=4*15

95=5*19

Dla porządku przeanalizujmy też linię “przekątną”, diagonalną 0, 2, 12, 30 56, 90…

0=0*0

2=1*2

12=2*6

30=3*10

56=4*14

90=5*18

Co to oznacza? Najprościej mówiąc, bardzo szybko można obliczyć dzielniki liczb znajdujących się na tych liniach.

W matematycznych wyliczeniach pomocne może być pierwiastkowanie, o czym wspominałem wcześniej (Właściwości “poprawionej” spirali Ulama – część 1). Ale szczegóły samych matematycznych obliczeń pomińmy, bo są one troszkę skomplikowane.

Np. jeśli pierwiastek z danej liczby zaokrąglony w dół jest nieparzysty, to “linie” są “na pozycjach” według schematu 24=(25-1)+0, 27=(25-1)+3, 30=(25-1)+6, 33=(25-1)+9, a jeśli pierwiastek zaokrąglony w dół jest parzysty, to według schematu 36=(36)+0, 39=(36)+3, 42=(36)+6, 45=(36)+9.

Wyprowadzanie wzorów zostawmy matematykom. Najważniejsze, że w łatwy sposób można przeprowadzić faktoryzację liczb znajdujących się na wspomnianych liniach.

A faktoryzacja liczb jest takim “króliczkiem”, którego matematyka “goni”.